game 理論
game theory
提携形 game (games in coalitional form。特性函數形 game (game of characteristic function form))$ (N,v)
協力 game を表現する
$ G:=(N,v)
$ N:=\{1,2,\dots,n\}: player の集合
提携 (coalition) : 部分集合$ C\subseteq N
$ v:2^N\to\R: 特性函數 (characteristic function)
戰略形 game (games in strategic form。strategic form game。標準形 game (normal form game))$ (N,S,u)
$ G:=(N,S,u)
$ N:=\{1,2,\dots,n\}: player の集合 $ S:=\prod_{i\in N}S_i: 戰略の集合 $ S_i: player$ iにとって可能な戰略の集合 (strategy set。戰略空閒 (strategy space)) 純粹戰略 (pure strategy) :$ S_iの要素
混合戰略 (mixed strategy) : 寫像$ \sigma_i:S_i\to[0,1] の內$ \sum_{s_i\in S_i}\sigma_i(s_i)=1を滿たすもの。凸結合 $ S_iが無限集合であれば、$ S_i上に適當な完全加法族 (σ)を定め、その上の確率測度を混合戰略と呼ぶ $ u:=(u_i)_{i\in N}: 利得函數 (payoff function。效用函數)。$ u_i:S\to\R 雙行列 game (bimatrix game)
player が 2 人で戰略集合が有限ならば、game を雙行列に書ける
展開形 game (games in extensive form。extensive-form game)
非協力 game を表現する
$ G:=(K,P,p,U,u)
($ G=({\cal K},{\bf H},[({\bf H}_i)_{i\in N},\{A(H)\}_{H\in{\bf H}}],a,\rho,u) )
game 木 (game tree)$ K:=(V,v_0,T,\rho)
node$ V
初期 node$ v_0\in V
葉 node$ T\subset V
手番 (move)$ D:=V\setminus T
手番$ Vに於ける選擇肢$ A(v)。node$ vの直後に在る node の集合
game の規則$ \rho:V\to D
edge を表す
player 分割 (player partition)$ H:=\{P_0,P_1,\dots,P_n\}\subseteq 2^D,$ P_i\subset D
但し以下を滿たす
$ P_i\neq\varnothing
$ P_i\cap P_j=\varnothing
$ \bigcup_i P_i=D
自然 (nature)$ 0
$ P_0\subset Dは偶然手番 (chance move) の集合
player$ \{1,\dots,n\}
$ P_i\subset Dは player$ iによる手番の全體
偶然手番の確率分布族$ p:=\{p_x:A(x)\to[0,1]\}_{x\in P_0}
但し$ \sum_{v\in A(x)}p_x(e)=1を滿たす
情報分割 (information partition)$ U:=\{U_0,U_1,\dots,U_n\},$ U_i\subset 2^{P_i}
但し以下を滿たす
$ P_i=\bigcup_{x\in U_i}x
$ \forall x,y_{\in U_i}~x\cap y=\varnothing
完全 (perfect) | 不完全 (imperfect)
完全情報 game (game with perfect information)
全ての情報構造$ \forall i_{0\le i\le n}\forall x\in U_iが 1 點から成る
不完全情報 game (game with imperfect information)
完備 (complete) | 不完備 (incomplete)
完備情報 game (game with complete information)
全 player が、game の全構造を知ってゐる
不完備情報 game (game with incomplete information)
利得函數 (payoff function)$ u:T\to\R^n,$ u_i:T\to\R
$ u_i(v)は node$ v\in Tでの player$ iの利得
解 (solution)
戰略形 game の類 (class)$ \Gamma:=\{G:=(N_G,S_G,u_G),\dots\}に於いて、game$ Gをその戰略$ S_Gの部分集合に對應させる函數を解槪念 (solutions concept) と言ふ 協力 game
安定集合
仁
非協力 game
質的應答均衡
零和
協力
協力 (cooperative)
非協力 (noncooperative)
情報
繰り返し
game に依る確率論の公理